多维数组

与大多数科学计算语言一样,Julia 提供原生的数组实现。 大多数科学计算语言非常重视其数组实现,而牺牲了其他容器。Julia 没有以任何特殊方式处理数组。就像和其它用 Julia 写的代码一样,Julia 的数组库几乎完全是用 Julia 自身实现的,并且由编译器保证其性能。因此,也可以通过继承 AbstractArray 来定义自定义数组类型。 有关实现自定义数组类型的更多详细信息,请参阅 AbstractArray 接口的手册部分

数组是存储在多维网格中对象的集合。在最一般的情况下, 数组中的对象可能是 Any 类型。 对于大多数计算上的需求,数组中对象的类型应该更加具体,例如 Float64Int32

一般来说,与许多其他科学计算语言不同,Julia 不希望为了性能而以向量化的方式编写程序。Julia 的编译器使用类型推断,并为标量数组索引生成优化的代码,从而能够令用户方便地编写可读性良好的程序,而不牺牲性能,并且时常会减少内存使用。

在 Julia 中,所有函数的参数都是 非复制的方式进行传递的(比如说,通过指针传递)。一些科学计算语言用传值的方式传递数组,尽管这样做可以防止数组在被调函数中被意外地篡改,但这也会导致不必要的数组拷贝。作为 Julia 的一个惯例,以一个 ! 结尾的函数名它会对自己的一个或者多个参数的值进行修改或者销毁(例如,请比较 sortsort!)。被调函数必须进行显式拷贝,以确保它们不会无意中修改输入参数。很多不以!结尾的函数在实现的时候,都会先进行显式拷贝,然后调用一个以 ! 结尾的同名函数,最后返回之前拷贝的副本。

基本函数

函数描述
eltype(A)A 中元素的类型
length(A)A 中元素的数量
ndims(A)A 的维数
size(A)一个包含 A 各个维度上元素数量的元组
size(A,n)An 维中的元素数量
axes(A)一个包含 A 有效索引的元组
axes(A,n)n 维有效索引的范围
eachindex(A)一个访问 A 中每一个位置的高效迭代器
stride(A,k)在第 k 维上的间隔(stride)(相邻元素间的线性索引距离)
strides(A)包含每一维上的间隔(stride)的元组

构造和初始化

Julia 提供了许多用于构造和初始化数组的函数。在下列函数中,参数 dims ... 可以是一个元组 tuple 来表示维数,也可以是一个可变长度的整数值作为维数。大部分函数的第一个参数都表示数组的元素类型 T 。如果类型 T 被省略,那么将默认为 Float64

函数描述
Array{T}(undef, dims...)一个没有初始化的密集 Array
zeros(T, dims...)一个全零 Array
ones(T, dims...)一个元素均为 1 的 Array
trues(dims...)一个每个元素都为 trueBitArray
falses(dims...)一个每个元素都为 falseBitArray
reshape(A, dims...)一个包含跟 A 相同数据但维数不同的数组
copy(A)拷贝 A
deepcopy(A)深拷贝,即拷贝 A,并递归地拷贝其元素
similar(A, T, dims...)一个与A具有相同类型(这里指的是密集,稀疏等)的未初始化数组,但具有指定的元素类型和维数。第二个和第三个参数都是可选的,如果省略则默认为元素类型和 A 的维数。
reinterpret(T, A)A 具有相同二进制数据的数组,但元素类型为 T
rand(T, dims...)一个随机 Array,元素值是 $[0, 1)$ 半开区间中的均匀分布且服从一阶独立同分布 [1]
randn(T, dims...)一个随机 Array,元素为标准正态分布,服从独立同分布
Matrix{T}(I, m, n)mn 列的单位矩阵 (需要先执行 using LinearAlgebra 来才能使用 I
range(start, stop=stop, length=n)startstop 的带有 n 个线性间隔元素的范围
fill!(A, x)用值 x 填充数组 A
fill(x, dims...)一个被值 x 填充的 Array

要查看各种方法,我们可以将不同维数传递给这些构造函数,请考虑以下示例:

julia> zeros(Int8, 2, 3)
2×3 Matrix{Int8}:
 0  0  0
 0  0  0

julia> zeros(Int8, (2, 3))
2×3 Matrix{Int8}:
 0  0  0
 0  0  0

julia> zeros((2, 3))
2×3 Matrix{Float64}:
 0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0

此处, (2, 3) 是一个元组 Tuple 并且第一个参数——元素类型是可选的, 默认值为 Float64.

数组常量

数组也可以直接用方括号来构造; 语法为 [A, B, C, ...] 创建一个一维数组(即一个向量),该一维数组的元素用逗号分隔。所创建的数组中元素的类型(eltype) 自动由括号内参数的类型确定。如果所有参数类型都相同,则该类型称为数组的 eltype。 如果所有元素都有相同的promotion type,那么个元素都由convert转换成该类型并且该类型为数组的 eltype. 否则, 生成一个可以包含任意类型的异构数组—— Vector{Any} ;该构造方法包含字符 [],此时构造过程无参数给出。

julia> [1,2,3] # 元素类型为 Int 的向量
3-element Vector{Int64}:
 1
 2
 3

julia> promote(1, 2.3, 4//5) # Int, Float64 以及 Rational 类型放在一起则会提升到 Float64
(1.0, 2.3, 0.8)

julia> [1, 2.3, 4//5] # 从而它就是这个矩阵的元素类型
3-element Vector{Float64}:
 1.0
 2.3
 0.8

julia> []
Any[]

数组拼接

如果方括号里的参数不是由逗号分隔,而是由单个分号(;) 或者换行符分隔,那么每一个参数就不再解析为一个单独的数组元素,而是纵向拼接起来。  

julia> [1:2, 4:5] # 这里有一个逗号,因此并不会发生矩阵的拼接。这里居然的元素本身就是这些 range
2-element Vector{UnitRange{Int64}}:
 1:2
 4:5

julia> [1:2; 4:5]
4-element Vector{Int64}:
 1
 2
 4
 5

julia> [1:2
        4:5
        6]
5-element Vector{Int64}:
 1
 2
 4
 5
 6

类似的,如果这些参数是被制表符、空格符或者两个分号所分隔,那么它们的内容就横向拼接在一起。

julia> [1:2  4:5  7:8]
2×3 Matrix{Int64}:
 1  4  7
 2  5  8

julia> [[1,2]  [4,5]  [7,8]]
2×3 Matrix{Int64}:
 1  4  7
 2  5  8

julia> [1 2 3] # 数字可以被横向拼接
1×3 Matrix{Int64}:
 1  2  3

julia> [1;; 2;; 3;; 4]
1×4 Matrix{Int64}:
 1  2  3  4

单个分号(或换行符)和空格(或制表符)可以被结合起来使用进行横向或者纵向的拼接。

julia> [1 2
        3 4]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 3  4

julia> [zeros(Int, 2, 2) [1; 2]
        [3 4]            5]
3×3 Matrix{Int64}:
 0  0  1
 0  0  2
 3  4  5

julia> [[1 1]; 2 3; [4 4]]
3×2 Matrix{Int64}:
 1  1
 2  3
 4  4

空格(和制表符)的优先级高于分号,首先执行任何纵向拼接,然后拼接结果。 另一方面,使用双分号进行水平连接时,先纵向拼接再横向拼接。

julia> [zeros(Int, 2, 2) ; [3 4] ;; [1; 2] ; 5]
3×3 Matrix{Int64}:
 0  0  1
 0  0  2
 3  4  5

julia> [1:2; 4;; 1; 3:4]
3×2 Matrix{Int64}:
 1  1
 2  3
 4  4

正如 ;;; 在第一维和第二维中拼接一样,使用更多的分号扩展了相同的通用方案。 分隔符中的分号数指定了特定的维度,因此;;; 在第三个维度中拼接,;;;; 在第四个维度中,依此类推。 较少的分号优先级高,因此较低的维度通常首先拼接。

julia> [1; 2;; 3; 4;; 5; 6;;;
        7; 8;; 9; 10;; 11; 12]
2×3×2 Array{Int64, 3}:
[:, :, 1] =
 1  3  5
 2  4  6

[:, :, 2] =
 7   9  11
 8  10  12

像之前一样,用于水平拼接的空格(和制表符)的优先级高于任何数量的分号。 因此,高维数组也可以通过首先指定它们的行来编写,它们的元素以类似于它们的布局的方式进行文本排列:

julia> [1 3 5
        2 4 6;;;
        7 9 11
        8 10 12]
2×3×2 Array{Int64, 3}:
[:, :, 1] =
 1  3  5
 2  4  6

[:, :, 2] =
 7   9  11
 8  10  12

julia> [1 2;;; 3 4;;;; 5 6;;; 7 8]
1×2×2×2 Array{Int64, 4}:
[:, :, 1, 1] =
 1  2

[:, :, 2, 1] =
 3  4

[:, :, 1, 2] =
 5  6

[:, :, 2, 2] =
 7  8

julia> [[1 2;;; 3 4];;;; [5 6];;; [7 8]]
1×2×2×2 Array{Int64, 4}:
[:, :, 1, 1] =
 1  2

[:, :, 2, 1] =
 3  4

[:, :, 1, 2] =
 5  6

[:, :, 2, 2] =
 7  8

尽管它们都表示第二维中的连接,但空格(或制表符)和 ;; 不能出现在同一个数组表达式中,除非双分号只是作为“行继续”字符。 这允许单个水平拼接跨越多行(不会将换行符解释为垂直拼接)。

julia> [1 2 ;;
       3 4]
1×4 Matrix{Int64}:
 1  2  3  4

终止分号也可用于在最后添加 1 个长度为1的维度。

julia> [1;;]
1×1 Matrix{Int64}:
 1

julia> [2; 3;;;]
2×1×1 Array{Int64, 3}:
[:, :, 1] =
 2
 3

更一般地,可以通过cat 函数来实现数组元素的拼接功能。 以下这些的语法为这些函数的简写形式,它们本身也是非常方便使用的:

语法函数描述
cat沿着 s 的第 k 维拼接数组
[A; B; C; ...]vcat`cat(A...; dims=1) 的简写
[A B C ...]hcat`cat(A...; dims=2) 的简写
[A B; C D; ...]hvcat同时沿垂直和水平方向拼接
[A; C;; B; D;;; ...]hvncat同时进行 n 维拼接,其中分号的数量表示拼接所在的维度

指定类型的数组字面量

可以用 T[A, B, C, ...] 的方式声明一个元素为某种特定类型的数组。该方法定义一个元素类型为 T 的一维数组并且初始化元素为 A, B, C, ....。比如,Any[x, y, z] 会构建一个异构数组,该数组可以包含任意类型的元素。

类似的,拼接也可以用类型为前缀来指定结果的元素类型。

julia> [[1 2] [3 4]]
1×4 Matrix{Int64}:
 1  2  3  4

julia> Int8[[1 2] [3 4]]
1×4 Matrix{Int8}:
 1  2  3  4

数组推导

(数组)推导提供了构造数组的通用且强大的方法。其语法类似于数学中的集合构造的写法:

A = [ F(x,y,...) for x=rx, y=ry, ... ]

这种形式的含义是 F(x,y,...) 取其给定列表中变量 xy 等的每个值进行计算。值可以指定为任何可迭代对象,但通常是 1:n2:(n-1) 之类的范围,或者像 [1.2, 3.4, 5.7] 这样的显式数组值。结果是一个 N 维密集数组,将变量范围 rxry 等的维数拼接起来得到其维数,并且每次 F(x,y,...) 计算返回一个标量。

下面的示例计算当前元素和沿一维网格其左,右相邻元素的加权平均值:

julia> x = rand(8)
8-element Array{Float64,1}:
 0.843025
 0.869052
 0.365105
 0.699456
 0.977653
 0.994953
 0.41084
 0.809411

julia> [ 0.25*x[i-1] + 0.5*x[i] + 0.25*x[i+1] for i=2:length(x)-1 ]
6-element Array{Float64,1}:
 0.736559
 0.57468
 0.685417
 0.912429
 0.8446
 0.656511

生成的数组的类型取决于参与计算元素的类型,就像数组字面量一样。为了显式地控制类型,可以在数组推导之前指定类型。例如,我们可以要求推导的结果为单精度类型:

Float32[ 0.25*x[i-1] + 0.5*x[i] + 0.25*x[i+1] for i=2:length(x)-1 ]

生成器表达式

也可以在没有方括号的情况下编写(数组)推导,从而产生称为生成器的对象。可以迭代此对象以按需生成值,而不是预先分配数组并存储它们(请参阅 迭代)。例如,以下表达式在不分配内存的情况下对一个序列进行求和:

julia> sum(1/n^2 for n=1:1000)
1.6439345666815615

在参数列表中使用具有多个维度的生成器表达式时,需要使用括号将生成器与后续参数分开:

julia> map(tuple, 1/(i+j) for i=1:2, j=1:2, [1:4;])
ERROR: syntax: invalid iteration specification

for 后面所有逗号分隔的表达式都被解释为范围。 添加括号让我们可以向 map 中添加第三个参数:

julia> map(tuple, (1/(i+j) for i=1:2, j=1:2), [1 3; 2 4])
2×2 Matrix{Tuple{Float64, Int64}}:
 (0.5, 1)       (0.333333, 3)
 (0.333333, 2)  (0.25, 4)

生成器是通过内部函数实现。 与本语言中别处使用的内部函数一样,封闭作用域中的变量可以在内部函数中被「捕获」。例如,sum(p[i] - q[i] for i=1:n) 从封闭作用域中捕获三个变量 pqn。但是变量捕获可能会带来性能挑战;请参阅 性能提示

通过编写多个 for 关键字,生成器和推导中的范围可以取决于之前的范围:

julia> [(i,j) for i=1:3 for j=1:i]
6-element Vector{Tuple{Int64, Int64}}:
 (1, 1)
 (2, 1)
 (2, 2)
 (3, 1)
 (3, 2)
 (3, 3)

在这些情况下,结果都是一维的。

可以使用 if 关键字过滤生成的值:

julia> [(i,j) for i=1:3 for j=1:i if i+j == 4]
2-element Vector{Tuple{Int64, Int64}}:
 (2, 2)
 (3, 1)

索引

索引 n 维数组 A 的一般语法是:

X = A[I_1, I_2, ..., I_n]

其中每个 I_k 可以是标量整数,整数数组或任何其他支持的索引类型。这包括 Colon (:) 来选择整个维度中的所有索引,形式为 a:ca:b:c 的范围来选择连续或跨步的子区间,以及布尔数组以选择索引为 true 的元素。

如果所有索引都是标量,则结果 X 是数组 A 中的单个元素。否则,X 是一个数组,其维数与所有索引的维数之和相同。

如果所有索引 I_k 都是向量,则 X 的形状将是 (length(I_1), length(I_2), ..., length(I_n)),其中,X 中位于 i_1, i_2, ..., i_n 处的元素为 A[I_1[i_1], I_2[i_2], ..., I_n[i_n]]

例如:

julia> A = reshape(collect(1:16), (2, 2, 2, 2))
2×2×2×2 Array{Int64, 4}:
[:, :, 1, 1] =
 1  3
 2  4

[:, :, 2, 1] =
 5  7
 6  8

[:, :, 1, 2] =
  9  11
 10  12

[:, :, 2, 2] =
 13  15
 14  16

julia> A[1, 2, 1, 1] # 全部为标量索引
3

julia> A[[1, 2], [1], [1, 2], [1]] # 全部为向量索引
2×1×2×1 Array{Int64, 4}:
[:, :, 1, 1] =
 1
 2

[:, :, 2, 1] =
 5
 6

julia> A[[1, 2], [1], [1, 2], 1] # 标量与向量索引的混合使用
2×1×2 Array{Int64, 3}:
[:, :, 1] =
 1
 2

[:, :, 2] =
 5
 6

请注意最后两种情况下得到的数组大小为何是不同的。

如果 I_1 是二维矩阵,则 Xn+1 维数组,其形状为 (size(I_1, 1), size(I_1, 2), length(I_2), ..., length(I_n))。矩阵会添加一个维度。

例如:

julia> A = reshape(collect(1:16), (2, 2, 2, 2));

julia> A[[1 2; 1 2]]
2×2 Matrix{Int64}:
 1  2
 1  2

julia> A[[1 2; 1 2], 1, 2, 1]
2×2 Matrix{Int64}:
 5  6
 5  6

位于 i_1, i_2, i_3, ..., i_{n+1} 处的元素值是 A[I_1[i_1, i_2], I_2[i_3], ..., I_n[i_{n+1}]]。所有使用标量索引的维度都将被丢弃,例如,假设 J 是索引数组,那么 A[2,J,3] 的结果是一个大小为 size(J) 的数组、其第 j 个元素由 A[2, J[j], 3] 填充。

作为此语法的特殊部分,end 关键字可用于表示索引括号内每个维度的最后一个索引,由索引的最内层数组的大小决定。没有 end 关键字的索引语法相当于调用getindex

X = getindex(A, I_1, I_2, ..., I_n)

例如:

julia> x = reshape(1:16, 4, 4)
4×4 reshape(::UnitRange{Int64}, 4, 4) with eltype Int64:
 1  5   9  13
 2  6  10  14
 3  7  11  15
 4  8  12  16

julia> x[2:3, 2:end-1]
2×2 Matrix{Int64}:
 6  10
 7  11

julia> x[1, [2 3; 4 1]]
2×2 Matrix{Int64}:
  5  9
 13  1

索引赋值

在 n 维数组 A 中赋值的一般语法是:

A[I_1, I_2, ..., I_n] = X

其中每个 I_k 可以是标量整数,整数数组或任何其他支持的索引类型。这包括 Colon (:) 来选择整个维度中的所有索引,形式为 a:ca:b:c 的范围来选择连续或跨步的子区间,以及布尔数组以选择索引为 true 的元素。

如果所有 I_k 都为整数,则数组 AI_1, I_2, ..., I_n 位置的值将被 X 的值覆盖,必要时将 convert 为数组 Aeltype

如果索引 I_k 本身就是一个数组,那么右侧的 X 也必须是一个与索引 A[I_1, I_2, ..., I_n] 的结果具有相同形状的数组或是具有相同数量元素的向量。 A 的位置 I_1[i_1], I_2[i_2], ..., I_n[i_n] 中的值被值 X[I_1, I_2, ..., I_n] 覆盖,如果必要也会进行类型转换。 元素分配运算符 .= 可以用于沿着所选区域 广播 X

A[I_1, I_2, ..., I_n] .= X

就像在索引中一样,end关键字可用于表示索引括号中每个维度的最后一个索引,由被赋值的数组大小决定。 没有end关键字的索引赋值语法相当于调用setindex!

setindex!(A, X, I_1, I_2, ..., I_n)

例如:

julia> x = collect(reshape(1:9, 3, 3))
3×3 Matrix{Int64}:
 1  4  7
 2  5  8
 3  6  9

julia> x[3, 3] = -9;

julia> x[1:2, 1:2] = [-1 -4; -2 -5];

julia> x
3×3 Matrix{Int64}:
 -1  -4   7
 -2  -5   8
  3   6  -9

支持的索引类型

在表达式 A[I_1, I_2, ..., I_n] 中,每个 I_k 可以是标量索引,标量索引数组,或者用 to_indices 转换成的表示标量索引数组的对象:

  1. 标量索引。默认情况下,这包括:
    • 非布尔的整数
    • CartesianIndex{N} 用来表达多个维度的信息(详见下文),其内部实际为 N个整数组成的元组。
  2. 标量索引数组。这包括:
    • 整数向量和多维整数数组
    • [] 这样的空数组,它不选择任何元素
    • a:ca:b:c 的范围,从 ac(包括)选择连续或间隔的部分元素
    • 任何自定义标量索引数组,它是 AbstractArray 的子类型
    • CartesianIndex{N} 数组(详见下文)
  3. 一个表示标量索引数组的对象,可以通过to_indices转换为这样的对象。 默认情况下,这包括:
    • Colon() (:),表示整个维度内或整个数组中的所有索引
    • 布尔数组,选择其中值为 true 的索引对应的元素(更多细节见下文)

一些例子:

julia> A = reshape(collect(1:2:18), (3, 3))
3×3 Matrix{Int64}:
 1   7  13
 3   9  15
 5  11  17

julia> A[4]
7

julia> A[[2, 5, 8]]
3-element Vector{Int64}:
  3
  9
 15

julia> A[[1 4; 3 8]]
2×2 Matrix{Int64}:
 1   7
 5  15

julia> A[[]]
Int64[]

julia> A[1:2:5]
3-element Vector{Int64}:
 1
 5
 9

julia> A[2, :]
3-element Vector{Int64}:
  3
  9
 15

julia> A[:, 3]
3-element Vector{Int64}:
 13
 15
 17

笛卡尔索引

特殊的 CartesianIndex{N} 对象表示一个标量索引,其行为类似于张成多个维度的 N 维整数元组。例如:

julia> A = reshape(1:32, 4, 4, 2);

julia> A[3, 2, 1]
7

julia> A[CartesianIndex(3, 2, 1)] == A[3, 2, 1] == 7
true

单独来看的话,这看起来很平凡:CartesianIndex 单纯只是将多个整数捆绑在一起作为一个对象来表示一个多维下标。当与其他取下标方式和生成 CartesianIndex 的迭代器进行工作的时候,它才真正能展现出它的简洁与高效。关于这个你可以参考 迭代器 这一部分,你也可以参考 关于多维算法和迭代器的介绍 这篇博客来了解更进阶的用法。

元素类型为 CartesianIndex{N} 的矩阵也是支持的。每一个元素都单独表示一个 N 维空间的 索引下标,作为一个整体这样一个矩阵则表示一些 N 维空间的点的坐标,因此这种形式有时 也称为逐点索引。例如:你可以通过它来访问上面所定义的三维矩阵 A 的第一页 (第三维指标为1)的对角线元素:

julia> page = A[:,:,1]
4×4 Matrix{Int64}:
 1  5   9  13
 2  6  10  14
 3  7  11  15
 4  8  12  16

julia> page[[CartesianIndex(1,1),
             CartesianIndex(2,2),
             CartesianIndex(3,3),
             CartesianIndex(4,4)]]
4-element Vector{Int64}:
  1
  6
 11
 16

这可以通过 dot broadcasting 以及普通整数索引(而不是把从 A 中提取第一“页”作为单独的步骤)更加简单地表达。它甚至可以与 : 结合使用,同时从两个页面中提取两个对角线:

julia> A[CartesianIndex.(axes(A, 1), axes(A, 2)), 1]
4-element Vector{Int64}:
  1
  6
 11
 16

julia> A[CartesianIndex.(axes(A, 1), axes(A, 2)), :]
4×2 Matrix{Int64}:
  1  17
  6  22
 11  27
 16  32
Warning

CartesianIndexCartesianIndex 数组与用来表示维度的最后一个索引的 end 关键字不兼容。 不要在可能包含CartesianIndex或其数组的索引表达式中使用end

逻辑索引

通常被称为逻辑索引或带有逻辑掩码的索引,通过布尔数组进行索引选择其值为true的索引处的元素。 通过布尔向量B进行索引实际上与通过findall(B)返回的整数向量进行索引相同。 类似地,通过N维布尔数组进行索引与通过其值为trueCartesianIndex{N}的向量进行索引实际上是相同的。 一个逻辑索引必须是一个与它所索引的维度长度相同的向量,或者它必须是唯一提供的索引并且匹配它所索引到的数组的大小和维度。 通常直接使用布尔数组作为索引更有效,而不是调用 findall

julia> x = reshape(1:16, 4, 4)
4×4 reshape(::UnitRange{Int64}, 4, 4) with eltype Int64:
 1  5   9  13
 2  6  10  14
 3  7  11  15
 4  8  12  16

julia> x[[false, true, true, false], :]
2×4 Matrix{Int64}:
 2  6  10  14
 3  7  11  15

julia> mask = map(ispow2, x)
4×4 Matrix{Bool}:
 1  0  0  0
 1  0  0  0
 0  0  0  0
 1  1  0  1

julia> x[mask]
5-element Vector{Int64}:
  1
  2
  4
  8
 16

索引数

笛卡尔索引

通常,为一个N维数组元素使用索引的方式是使用N个数字作为索引,每一个索引值确定一个具体的维度。例如,一个三维数组A = rand(4, 3, 2), A[2, 3, 1] 将选择的第二行第三列第一“页”中的元素。这种方式通常也被成为笛卡尔索引。

线性索引

当恰好提供了一个索引i时,该索引不再表示数组特定维度中的位置。 相反,它使用线性遍历整个数组的列主迭代顺序选择第 i 个元素。 这称为线性索引。 它本质上将数组视为使用 vec 将其重新整形为一维向量。

julia> A = [2 6; 4 7; 3 1]
3×2 Matrix{Int64}:
 2  6
 4  7
 3  1

julia> A[5]
7

julia> vec(A)[5]
7

数组 A 中的线性索引可以转换为 CartesianIndex 以使用 CartesianIndices(A)[i] 进行笛卡尔索引(参见 CartesianIndices),一组 N 维笛卡尔索引可以通过LinearIndices(A)[i_1, i_2, ..., i_N] 转换为线性索引(参见LinearIndices)。

julia> CartesianIndices(A)[5]
CartesianIndex(2, 2)

julia> LinearIndices(A)[2, 2]
5

需要注意的是,这些转换的性能存在很大的不对称性。 将线性索引转换为一组笛卡尔索引需要做除法取余数,而相反的转换只是相乘和相加。 在现代处理器中,整数除法比乘法慢 10-50 倍。 虽然一些数组——比如 Array 本身——是使用线性内存块实现的,并在它们的实现中直接使用线性索引,但其他数组——比如 Diagonal——需要完整的笛卡尔索引集进行查找(请参阅 IndexStyle 以仔细推敲)。 因此,当遍历整个数组时,最好遍历 eachindex(A) 而不是 1:length(A)。 在 AIndexCartesian 的情况下,前者不仅会快得多,而且它还支持 OffsetArrays(译者注:OffsetArrays.jl是Julia的一个包,支持矩阵的下标不从1开始)。

省略和额外的索引

除了线性索引,在某些情况下, N 维数组的可能少于或多余 N 。

如果未索引的剩余维度的长度均为 1,则可以省略索引。 换句话说,只有当那些省略的索引对于索引表达式只有一个可能的值时,才可以省略剩余索引。 例如,一个大小为(3, 4, 2, 1)的四维数组可能只用三个索引进行索引,因为被跳过的维度(第四维)的长度为 1。 请注意,线性索引优先级高于此规则。

julia> A = reshape(1:24, 3, 4, 2, 1)
3×4×2×1 reshape(::UnitRange{Int64}, 3, 4, 2, 1) with eltype Int64:
[:, :, 1, 1] =
 1  4  7  10
 2  5  8  11
 3  6  9  12

[:, :, 2, 1] =
 13  16  19  22
 14  17  20  23
 15  18  21  24

julia> A[1, 3, 2] # Omits the fourth dimension (length 1)
19

julia> A[1, 3] # Attempts to omit dimensions 3 & 4 (lengths 2 and 1)
ERROR: BoundsError: attempt to access 3×4×2×1 reshape(::UnitRange{Int64}, 3, 4, 2, 1) with eltype Int64 at index [1, 3]

julia> A[19] # Linear indexing
19

当用A[] 省略全部 索引时,这种语义提供了一种简单的习惯用法来检索数组中的唯一元素,同时确保只有一个元素。

类似地,如果超出数组维数的所有索引都是1(或更一般地说是axes(A, d)的第一个也是唯一的元素,其中d是特定的维数),可以使用超过N维的索引。这允许向量像一列矩阵一样被索引,例如:

julia> A = [8,6,7]
3-element Vector{Int64}:
 8
 6
 7

julia> A[2,1]
6

迭代

迭代整个数组的推荐方法是

for a in A
    # Do something with the element a
end

for i in eachindex(A)
    # Do something with i and/or A[i]
end

当你需要每个元素的值而不是索引时,使用第一个构造。 在第二个构造中,如果 A 是具有快速线性索引的数组类型,i 将是 Int; 否则,它将是一个 CartesianIndex

julia> A = rand(4,3);

julia> B = view(A, 1:3, 2:3);

julia> for i in eachindex(B)
           @show i
       end
i = CartesianIndex(1, 1)
i = CartesianIndex(2, 1)
i = CartesianIndex(3, 1)
i = CartesianIndex(1, 2)
i = CartesianIndex(2, 2)
i = CartesianIndex(3, 2)

for i = 1:length(A) 相比,eachindex 提供了一种迭代任何数组类型的有效方法。

Array traits

如果你编写一个自定义的 AbstractArray 类型,你可以用以下代码指定它使用快速线性索引

Base.IndexStyle(::Type{<:MyArray}) = IndexLinear()

此设置将导致 myArray 上的 eachindex 迭代使用整数。如果未指定此特征,则使用默认值 IndexCartesian()

数组和向量化的算子与函数

以下运算符支持对数组操作

  1. 一元运算符 – -, +
  2. 二元运算符 – -, +, *, /, \, ^
  3. 比较操作符 – ==, !=, (isapprox),

另外,为了便于数学上和其他运算的向量化,Julia 提供了点语法(dot syntax) f.(args...),例如,sin.(x)min.(x,y),用于数组或数组和标量的混合上的按元素运算(广播运算);当与其他点调用(dot call)结合使用时,它们的额外优点是能「融合」到单个循环中,例如,sin.(cos.(x))

此外,每个二元运算符支持相应的点操作版本,可以应用于此类融合 broadcasting 操作的数组(以及数组和标量的组合),例如 z .== sin.(x .* y)

请注意,类似 == 的比较运算在作用于整个数组时,得到一个布尔结果。使用像 .== 这样的点运算符进行按元素的比较。(对于像 < 这样的比较操作,只有按元素运算的版本 .< 适用于数组。)

还要注意 max.(a,b)maximum(a) 之间的区别,max.(a,b)ab 的每个元素 broadcasts maxmaximum(a) 寻找在 a 中的最大值。min.(a,b)minimum(a) 也有同样的关系。

广播

有时需要在不同尺寸的数组上执行元素对元素的操作,例如将矩阵的每一列加一个向量。一种低效的方法是将向量复制成矩阵的大小:

julia> a = rand(2,1); A = rand(2,3);

julia> repeat(a,1,3)+A
2×3 Array{Float64,2}:
 1.20813  1.82068  1.25387
 1.56851  1.86401  1.67846

当维度较大的时候,这种方法将会十分浪费,所以 Julia 提供了广播 broadcast,它将会将参数中低维度的参数扩展,使得其与其他维度匹配,且不会使用额外的内存,并将所给的函数逐元素地应用。

julia> broadcast(+, a, A)
2×3 Array{Float64,2}:
 1.20813  1.82068  1.25387
 1.56851  1.86401  1.67846

julia> b = rand(1,2)
1×2 Array{Float64,2}:
 0.867535  0.00457906

julia> broadcast(+, a, b)
2×2 Array{Float64,2}:
 1.71056  0.847604
 1.73659  0.873631

点运算符.+.* 等价于broadcast 调用(除了它们结合使用,如上所述)。 还有一个 broadcast! 函数来指定一个明确的方式(也可以通过.= 赋值以融合方式访问)。 事实上,f.(args...) 等价于broadcast(f, args...),提供了一种方便的语法来广播任何函数(dot syntax)。 嵌套的“点运算符调用”f.(...)(包括对.+ 等的调用)自动融合 到单个broadcast 调用中。

此外,broadcast 不限于数组(参见函数文档); 它还处理标量、元组和其它容器。 默认情况下,只有一些参数类型被认为是标量,包括(但不限于)Numbers、Strings、Symbols、Types、Functions 和一些常见的单例,如 missingnothing。 所有其他参数都被迭代或逐个索引。

julia> convert.(Float32, [1, 2])
2-element Vector{Float32}:
 1.0
 2.0

julia> ceil.(UInt8, [1.2 3.4; 5.6 6.7])
2×2 Matrix{UInt8}:
 0x02  0x04
 0x06  0x07

julia> string.(1:3, ". ", ["First", "Second", "Third"])
3-element Vector{String}:
 "1. First"
 "2. Second"
 "3. Third"

有时,你希望一个通常参与广播的容器(如数组)受到“保护”,使其免受广播迭代其所有元素的行为的影响。 通过将其放置在另一个容器中(如单个元素 Tuple),广播会将其视为单个值。

julia> ([1, 2, 3], [4, 5, 6]) .+ ([1, 2, 3],)
([2, 4, 6], [5, 7, 9])

julia> ([1, 2, 3], [4, 5, 6]) .+ tuple([1, 2, 3])
([2, 4, 6], [5, 7, 9])

实现

Julia 中的基本数组类型是抽象类型 AbstractArray{T,N}。它通过维数 N 和元素类型 T 进行参数化。AbstractVectorAbstractMatrix 是一维和二维情况下的别名。AbstractArray 对象的操作是使用更高级别的运算符和函数定义的,其方式独立于底层存储。这些操作可以正确地被用于任何特定数组实现的回退操作。

AbstractArray 类型包括任何类似数组的东西,它的实现可能与传统数组完全不同。例如,元素可能根据请求计算而不是存储。然而,任何具体的 AbstractArray{T,N} 类型通常应该至少实现 size(A)(返回一个 Int 元组),getindex(A,i)getindex(A,i1,...,iN);可变数组也应该实现 setindex!。建议这些操作具有常数时间复杂度,否则某些数组函数可能会出乎意料的慢。具体类型通常还应该提供一个 similar(A,T=eltype(A),dims=size(A)) 方法,用于为 copy 和其他不合适的操作。无论 AbstractArray{T,N} 在内部如何表示,T 都是由 整数 索引(A[1, ..., 1],当 A 非空) 返回的对象类型并且 N 应该是 size 返回的元组的长度。有关自定义 AbstractArray 实现的更多详细信息,请参阅 接口章节中的数组接口指南

DenseArrayAbstractArray 的抽象子类型,旨在包括元素以列优先顺序连续存储的所有数组(请参阅 性能提示中的附加说明)。 Array 类型是DenseArray 的一个特定实例; VectorMatrix 是一维和二维情况的别名。 除了所有AbstractArrays所需的操作之外,很少有专门为Array实现的操作;大部分数组库都是以泛型方式实现的,允许所有自定义数组的行为类似。

SubArrayAbstractArray 的特例,它通过与原始数组共享内存而不是复制它来执行索引。 使用view 函数创建 SubArray,它的调用方式与getindex 相同(作用于数组和一系列索引参数)。 view 的结果看起来与 getindex 的结果相同,只是数据保持不变。 view 将输入索引向量存储在 SubArray 对象中,该对象稍后可用于间接索引原始数组。 通过将 @views 宏放在表达式或代码块之前,该表达式中的任何 array [...] 切片将被转换为创建一个 SubArray 视图。

BitArray 是节省空间“压缩”的布尔数组,每个比特(bit)存储一个布尔值。 它们可以类似于 Array{Bool} 数组(每个字节(byte)存储一个布尔值),并且可以分别通过 Array(bitarray)BitArray(array) 相互转换。

An array is "strided" if it is stored in memory with well-defined spacings (strides) between its elements. A strided array with a supported element type may be passed to an external (non-Julia) library like BLAS or LAPACK by simply passing its pointer and the stride for each dimension. The stride(A, d) is the distance between elements along dimension d. For example, the builtin Array returned by rand(5,7,2) has its elements arranged contiguously in column major order. This means that the stride of the first dimension — the spacing between elements in the same column — is 1:

julia> A = rand(5,7,2);

julia> stride(A,1)
1

The stride of the second dimension is the spacing between elements in the same row, skipping as many elements as there are in a single column (5). Similarly, jumping between the two "pages" (in the third dimension) requires skipping 5*7 == 35 elements. The strides of this array is the tuple of these three numbers together:

julia> strides(A)
(1, 5, 35)

In this particular case, the number of elements skipped in memory matches the number of linear indices skipped. This is only the case for contiguous arrays like Array (and other DenseArray subtypes) and is not true in general. Views with range indices are a good example of non-contiguous strided arrays; consider V = @view A[1:3:4, 2:2:6, 2:-1:1]. This view V refers to the same memory as A but is skipping and re-arranging some of its elements. The stride of the first dimension of V is 3 because we're only selecting every third row from our original array:

julia> V = @view A[1:3:4, 2:2:6, 2:-1:1];

julia> stride(V, 1)
3

This view is similarly selecting every other column from our original A — and thus it needs to skip the equivalent of two five-element columns when moving between indices in the second dimension:

julia> stride(V, 2)
10

第三维很有趣因为它的顺序颠倒了! 因此从第一 "页" 到第二页它必须在内存中到 backwards,所以它在这一维的 strides 是负的!

julia> stride(V, 3)
-35

This means that the pointer for V is actually pointing into the middle of A's memory block, and it refers to elements both backwards and forwards in memory. See the interface guide for strided arrays for more details on defining your own strided arrays. StridedVector and StridedMatrix are convenient aliases for many of the builtin array types that are considered strided arrays, allowing them to dispatch to select specialized implementations that call highly tuned and optimized BLAS and LAPACK functions using just the pointer and strides.

需要强调的是 strides 是关于内存而不是索引中的偏移。如果你在找在线性(单索引)索引和笛卡尔(多索引)索引间切换的方法,见 LinearIndicesCartesianIndices.

  • 1iid,独立同分布